پدرش "حسین سنجری" از نوازندگان برجسته تار به شمار می آمد که موسیقی را نزد درویش خان و مرتضی نی داوود آموخته بود ولی با گشایش آموزشگاه موسیقی علینقی وزیری در سال ١٣٠٢، به آن جا رفت و با نت خوانی و قواعد دیگر موسیقی علمی آشنا شد. علاوه بر پدر، مادر حشمت نیز با نواختن تار آشنائی داشت و همین فضای هنری خانوادگی، او را دلبسته موسیقی ساخت .

او در آغاز علاوه بر شرکت در گروه آواز جمعی کودکان، به فراگیری تار پرداخت، ولی به زودی به ویولن، ساز ایرانی شده ای که در مدرسه وزیری ارج و قرب ویژه ای داشت، روی آورد و نواختن آن را آموخت.

گفتنی است که حشمت همزمان با فراگیری های هنری ، تحصیلات عمومی خود از سال ١٣٠٣ در دارلفنون آغاز کرد و در سال ١٣٠٩ به دبیرستان دارالفنون وارد شد و در سال ١٣١٥ دیپلم ادبی خود را گرفت و در همان سال برای گذراندن خدمت سربازی به دانشکده افسری وارد شد و در سال ١٣١٧ پس از پایان خدمت به مقطع دبیرستان هنرستان موسیقی وارد شد و همه زمان و توان خود را یکسره وقف موسیقی ساخت و در هنرستان عالی موسیقی فراگیری های خود را ادامه داد. نواختن ویولن را نزد "سرژ خوتسیف" ، استاد روسی تبار هنرستان، پیش برد و رهبری و آهنگسازی را در کلاس پرویز محمود فرا گرفت.

حشمت سنجری سرانجام توانست دیپلم خود را در سال ١٣٢٠ گرفت و لیسانس خود را در هنرستان عالی موسیقی، در سال ١٣٢٨ با اجرای کنسرتو ویولن بتهوون به عنوان پایان نامه، همراه با ارکستر سمفونیک تهران به پایان ببرد. او بلافاصله پس از این توفیق به رهبری ارکستر هنرجویان هنرستان برگزیده و تدریس ویلن را نیز عهده دار شد.

سنجری در سال ١٣٣٠ به عنوان مسئول مقطع دبیرستان هنرستان عالی موسیقی منصوب شد. همچنین در همین سال نیز با همسر دوم خود ازدواج کرد.

حشمت سنجری، پس از سفر مطالعاتی مرتضی حنانه ، رهبر وقت ارکستر سمفونیک تهران به ایتالیا، در سال ١٣٣٤ به رهبری این ارکستر رسید. از آن پس او با چشم پوشی از یک وقفه سه ساله-در مجموع ١٢ سال رهبری ارکستر را در دست داشت و "رپتوار"ی گسترده برای ارکستر فراهم آورد. آن وقفه سه ساله از ١٣٣٦ تا ١٣٣٩ را نیز صرف سفری مطالعاتی به اروپا کرد.

سنجری در این سفر در وین، بروکسل (کلاس پروفسور هانس اسواروسکی)، هیلورسوم هلند (کلاس فرانکو فرارا) و پروجا(ایتالیا) به تکمیل تحصیلات خود پرداخت و از سازمانهای آموزشی معتبر دیپلم هائی دریافت کرد که مهم ترین آن ها دیپلم رهبری ارکستر سمفونیک و اپرا و دیپلم آهنگسازی در سال ١٣٣٦ از آکادمی موسیقی وین می باشد.

حشمت سنجری پیش از این سفر مطالعاتی، یعنی در سال ١٣٣٥ نیز به دعوت چند ارکستر بزرگ در آمریکا، سفری چندماهه به آن دیار داشت و از جمله ارکستر سمفونیک های بوستون، کلمبیا و شیکاگو را رهبری کرد.

او پس از بازگشت از سفر مطالعاتی اروپا و استقرار مجدد بر سکوی رهبری ارکستر سمفونیک تهران، به تناوب به عنوان رهبر میهمان به کشورهای دیگر نیز سفر کرد که مهم ترین آن ها شاید سفر به اتحاد شوروی سابق، لهستان، رومانی، تاجیکستان، بلغارستان، یوگسلاوی و ترکیه باشد.

همچنین در سال ١٣٤٦ در برنامه افتتاحیه تالار رودکی (وحدت) کلیه اجراهای ارکستر سمفونیک، اپرا و باله بر عهده وی بود.

مداومت و استمرار ١٢ ساله در کار رهبری سبب شده بود که سنجری همه چم وخم های کار ارکستر سمفونیک تهران و نیز روحیات تک تک نوازندگان آن را بشناسد و از این آشنائی، پشتوانه ای برای اعتلای کیفی کار ارکستر فراهم آورد.

دو آفریده عمده ای که از حشمت سنجری به جای مانده، نشان میدهد که تمایل و کوشش او بیش از هر چیز درآن بود که به رنگ و بوی موسیقی ملی اولویت بدهد و کاری نکند که طراوت های بومی این موسیقی در لابلای شگردهای فنی بین المللی از میان برود. به همین جهت آن بخش از دستمایه های موسیقی ملی را زمینه کار قرار می داد که سازگاری بیشتری برای توسعه و ترکیب با شگردهای فنی دارند.

سنجری در "سوئیت ایرانی" که از پنج بخش تشکیل شده، کوشیده است تا ریتم های سرزنده رنگ های ایرانی را به کار بگیرد. این بخش های پنج گانه عبارتند از: افق بیکران، دوحالت، رقص مضراب ها، رقص دایره، و اوج. در این میان رقص دایره به خاطر جاذبه های ریتمیک، شهرت بیشتری یافته و بارها به وسیله ارکستر سمفونیک تهران اجرا شده است.

آفریده دیگر حشمت سنجری "رنگارنگ" نام دارد که در آن نیز ملودی ها و ریتم های موسیقی ملی، دستمایه قرار گرفته اند.

سنجری گرایش ویژه ای به آهنگسازان سرزمین های شرقی اتحاد شوروی (سابق) ازجمله "فکرت امیروف" داشت. تاثیر این گرایش را می توان در برخی از آثار او یافت.  «شور» آفریده معروف "امیروف"، در رپرتوار ارکستر سمفونیک تهران جای ثابتی داشت.

حشمت سنجری در سال ١٣٥١ از رهبری ارکستر سمفونیک تهران کناره گرفت و عنان آن را به دست رهبر جوان و تازه نفس " فرهاد مشکات" سپرد. او از آن پس با داشتن عنوان مشاور وزیر فرهنگ و هنر و سرپرست تالار رودکی به صورت پراکنده موسیقی چند اپرا و باله را در تالار رودکی و نیز کنسرت هائی با ارکستر مجلسی رادیو تلویزیون ملی ایران تا سال ١٣٥٧ رهبری کرد.

همزمان با انقلاب اسلامی در ایران، حشمت سنجری بازنشسته شد ولی یک سال پس از آن به کار دعوت شد و ده سال دیگر عنوان رهبری ارکستر سمفونیک تهران را برای خود نگاه داشت.و از سال 1368 به بعد تنها به آموزش شاگردان به صورت خصوصی پرداخت.